জটিল সংখ্যাঃ

x ও y বাস্তব সংখ্যা হলে z= x+iy আকারের রাশিকে জটিল সংখ্যা বলে। যেখানে,

x=বাস্তব অংশ
y=কাল্পনিক অংশ
i=কাল্পনিক সংখ্যা
x+iy আকারের জটিল সংখ্যার ক্রমযুগল (x,y)

i সম্পর্কিত আলোচনা :
i²   =-1
i     = √ -1

√i = +- 1/√2(1+i)
√-i= +- 1/√2(1-i)

i এর বিভিন্ন ঘাতের জন্য i এর মান :

#  i³= – i
এখানে, i³= i².i এবং i²=-1
তাহলে i³=-1.i = -i

# আবার,
i⁴= 1
i⁸= 1
i¹²=1
এখান থেকে বলা যায় i এর ঘাত চারের গুণিতক হলে তার মান 1 হবে।

# i এর পাওয়ার আস্তে আস্তে বাড়লে বারবার i কে ভেঙ্গে তার মান বের করা কষ্টসাধ্য, তাই এখানে একটা ছোট্ট  ট্রিক  ফলো করবো আমরা।
এখানে i এর পাওয়ারকে  চার দ্বারা ভাগ করলে যেটা ভাগশেষ  আসবে তাই i এর পাওয়ার হবে।
যেমন,  i⁷= -1
এখানে  7 কে 4 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 3 আসে এবং i³=-1 তাই i⁷= -1 ।

#i এর পাওয়ার কে 4 দ্বারা ভাগ করলে এবং ভাগশেষ না থাকলে i এর পাওয়ার সহ পুরোটার মান 1 হবে। যেমন, i¹⁶= 1। এজন্যই বলা হয়ে থাকে i এর ঘাত চার এর গুণিতক হলে তার মান 1 হবে।

i সম্বলিত ধারার যোগফল :

# i+i²+i³+i⁴=0
কারণ,  i+(-1)+(-i)+( -1²)=0
এখানে বলা যায় i এর পাওয়ার পরপর চারটি ক্রমিক সংখ্যা হলে তাদের যোগফল শূন্য হবে।

# 1++i²+i³…..+i²⁰²= i

কারণ,

পদ সংখ্যা =  [(শেষের পদের ঘাত-প্রথম পদের ঘাত)/1]+1
পদ সংখ্যা কে 4  দ্বারা ভাগ করলে যত ভাগশেষ থাকে  ততটি  পদ বাকি থাকে। প্রথম থেকে ততটি পদকে উত্তর ধরা হয়।
এখানে পদসংখ্যা = [(202-0)/1] +1 = 203
203 কে 4  দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 3 থাকবে।সুতরাং শুরুর তিনটি পদ উত্তর হবে।
1+i+i²= 1+i -1=i

#

কোন সংখ্যাকে  i² দ্বারা গুন করলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে  2π/2 কোনে ঘুরে যায়।
কোন সংখ্যাকে  i³ দ্বারা গুন করলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে  3π/2 কোনে ঘুরে যায়।
কোন সংখ্যাকে  iⁿ দ্বারা গুন করলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে  nπ/2 কোনে ঘুরে যায়।